👤
a fost răspuns

*SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1. Determinati numărul real x ştiind că x-2,x,8 sunt termeni consecutivi ai unei progresii
geometrice.
(5p) 2. Fie funcţia f:R→R,f(x) = ax-1. Determinati a eR știind că punctul A(a,3)
apartine graficului funcției f.
(5p) 3. Rezolvaţi în R ecuația 32-1+1=28.
(5p) 4. Calculați probabilitatea ca alegând un element din multimea numerelor naturale mai mici
decât 100, acesta să fie pătrat perfect.
TEST 21-se acordă 10 puncte din oficiu, timp de lucru 3 ore
(5p) 5. Fie dreapta de ecuație d: ax+by-3-0. Determinati a,beR știind că punctele 4(1,1)
şi B(2.-1) aparţin dreptei d.
(5p) 6. Se consideră triunghiul ABC în care AB = 5√2, mel
cu 15. Aflaţi lungimea laturii [BC].
**SUBIECTUL II (30 de puncte)
-1 3
1
(15p) 1. Fie matricele A =
208- (13
şi B =
(5p) a) Calculați det (A+1₂). (5p) b) Determinaţi xeR știind că det (A²-B)=0.
x-2)
me(B) = =45° şi aria triunghiului egală
(5p) c) Pentru x = 2 aflaţi inversa matricei B.
(15p) 2. Fie polinomul ƒ€R[X],ƒ = 2X³ - X² +3 cu rădăcinile x₁,x₂,.dz.
(5p) a) Arătaţi că polinomul ƒ este divizibil cu polinomul g = X +1.
(5p) b) Determinaţi câtul şi restul împărţirii polinomului ƒ la X²-2.
(5p) c) Să se determine a € R știind că: a(x² + x² + x² ) = 1 1
*** SUBIECTUL III (30 de puncte)
(15p) 1. Fie funcţia f: (0, +∞) → R, ƒ(x) = (x+2) √x.
(5p) a) Calculaţi lim
X-400
1
+
Xq-²/2 xjxzxzz
√xf(x)
3x+2
(5p) b)
(2x-1)(3x+2)
Arătaţi că f'(x)=- ₁x € (0, +∞).
2√x
(5p) c) Scrieţi ecuația tengentei la graficul funcţiei ƒ în punctul de abscisă x₁ = 1.
1
(15p) 2. Fie funcţia f:[0, +∞0)→ R, f(x) = -
x+1
(5p) a) Calculaţi fxf (x) dx .
(5p) b) Calculaţi volumul corpului obţinut prin rotaţia în jurul axei Ox a graficului funcţiei
8:[0,1] → R, g(x) = f(x)
1
(Sp) c) Arătaţi că orice primitivă a funcţiei ƒ este concavă pe [0, +∞0).

Răspuns :

Ioanm866

Răspuns:

## Rezolvare detaliată a Subiectelor Testului 2:

**SUBIECTUL I:**

**1. Progresie geometrică:**

Fie x-2, x, 8 termeni consecutivi ai unei progresii geometrice. Avem:

* **Rația:** (x)/(x-2) = 8/x

* **Rezolvarea ecuației:** x^2 - 6x + 16 = 0

* **Soluții:** x1 = 2 + 2√3, x2 = 2 - 2√3

* **Numărul real x:** x = 2 + 2√3

**2. Funcție liniară:**

Fie f(x) = ax - 1 și punctul A(a, 3) pe grafic. Avem:

* **Substituție:** 3 = aa - 1

* **Determinarea lui a:** a = 4

* **Funcția:** f(x) = 4x - 1

**3. Ecuație:**

Rezolvarea ecuației 3^2-1+1 = 2^8:

* **Simplificare:** 9 = 256

* **Soluție:** Nu există soluții reale.

**4. Probabilitate:**

Calculul probabilității ca un element din mulțimea numerelor naturale mai mici de 100 să fie pătrat perfect:

* **Număr de elemente favorabile:** 10 (1^2, 2^2, ..., 10^2)

* **Număr de elemente posibile:** 99

* **Probabilitate:** 10/99

**5. Dreaptă:**

Determinarea lui a și b din ecuația ax + by - 3 = 0, știind că punctele A(1, 1) și B(2, -1) aparțin dreptei:

* **Sistem de ecuații:**

* a + b - 3 = 0

* 2a - b - 3 = 0

* **Soluție:** a = 2, b = 1

* **Ecuația dreptei:** 2x + y - 3 = 0

**6. Triunghi:**

Aflam lungimea laturii BC în triunghiul ABC cu AB = 5√2, AC = 15 și unghi BAC = 45°:

* **Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul ACD:**

* CD = √(AC^2 - AD^2) = √(15^2 - (5√2)^2) = 5√3

* **Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul ABC:**

* BC = √(AB^2 + AC^2 - 2 * AB * AC * cos(BAC))

* BC = √(50 + 225 - 2 * 5√2 * 15 * cos(45°))

* BC = 10√6

**SUBIECTUL II:**

**1. Matrici:**

a) **Determinantul matricei A + I2:**

det(A + I2) = det(A) + 2 * det(I2) + det(I2) = 10 + 2 * 1 + 1 = 13

b) **Determinantul matricei A^2 - B:**

det(A^2 - B) = det(A) * det(A - B) = 10 * (5 - 4) = 10

**Ecuația pentru x:**

det(A^2 - B) = 0 => 10 * (5 - 4) = 10 => x = 2

c) **Inversa matricei B pentru x = 2:**

B^-1 = (1/4) * (-1, 2) = (-1/4, 1/2)

**2. Polinoame:**

a) **Divizibilitatea cu X + 1:**

f(x) = 2x^3 - x^2 + 3 = (x + 1)(2x^2 - 3x + 3)

**Restul la împărțirea la X^2 - 2:**

Fie f(x) = q(x) * (x^2 - 2) + r(x), unde q(x) este câtul și r(x) este restul.

* **Împărțirea polinoamelor:**

```

2x

Alte intrebari