Răspuns:
20)
Se observă că, grupând termenii sumei câte 4, suma fiecărei grupe de 4 termeni este 0. Deci rezultatul sumei depinde de câți termeni rămân la sfârșit, adică:
[tex]z=\begin{cases}1, & n=4k\\1+i, & n=4k+1\\i, & n=4k+2\\0, & n=4k+3\end{cases}[/tex]
Pentru n = 102 avem [tex]z=i\Rightarrow |z|=1[/tex]
Se observă că z este real dacă n este de forma 4k sau 4k+3, k natural.
21)
a) Relația se mai scrie
[tex](z+i)^{10}=-(z-i)^{10}\Rightarrow |z+i|^{10}=|z-i|^{10}\Rightarrow |z+i|=|z-i|[/tex]
b) Fie [tex]z=a+bi[/tex]. Folosind punctul a) rezultă
[tex]\sqrt{a^2+(b+1)^2}=\sqrt{a^2+(b-1)^2}\Rightarrow (b+1)^2=(b-1)^2\Rightarrow 4b=0\Rightarrow b=0[/tex]
Deci [tex]z=a\in\mathbb{R}[/tex]
Explicație pas cu pas:
