Răspuns :
Răspuns:
200 + 100/101.
Explicație pas cu pas:
A = {1/2,2/3,3/4,...,100/101}
B = { 2/1,3/2,4/3,...,101/100}
A U B = {toate elementele din A si din B} =
{1/2,2/1,2/3,3/2,3/4,4/3,...,100/101,101/100}
cardA = cardB = 100
card(A U B) = 200
Insumam toate elementele din A U B:
1-1/2+
1+1+
1-1/3+
+1+1/2+
1-1/4+
1+1/3+
- - - -
1-1/101+
1+1/100 = ne raman 200 de 1, un 1 de pe linia a 2-a si -1/101, in rest toate fractiile se reduc =
200 + 1 - 1/101 =
200 + 101-1 / 101 =
200 + 100/101.
Intrucat fiecare element din B este inversul unui element din A, inseamna ca cele doua multimi nu au niciun element comun, deci la reuniunea lor o sa apara fiecare element din A si fiecare element din B.
Atunci suma aceea este suma elementelor lui A plus suma elementelor lui B.
Se observa ca
[tex]\frac{1}{2}=1-\frac{1}{2}[/tex]
[tex]\frac{2}{3}=1-\frac{1}{3}[/tex]
...
[tex]\frac{100}{101}=1-\frac{1}{101}[/tex]
Pentru ca [tex]\frac{n}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}[/tex]
iar
[tex]\frac{2}{1} = 1+\frac{1}{1}[/tex]
[tex]\frac{3}{2} =1+\frac{1}{2}[/tex]
...
[tex]\frac{101}{100} =1+\frac{1}{100}[/tex]
Pentru ca [tex]\frac{n+1}{n}=1+\frac{1}{n}[/tex]
Adunand atat elementele din A cat si cele din B, obtinem:
[tex]1-\frac{1}{2}+1-\frac{1}{3}+...+1-\frac{1}{101} +1+\frac{1}{1}+1+\frac{1}{2}+...+1+\frac{1}{100}[/tex]
Tinem cont ca A are 100 elemente, iar B tot atatea, deci avem 200 de 1 de adunat, plus fractiile care se reduc doua cate doua, fiindca apar o data cu minus si o data cu plus, in afara de [tex]\frac{1}{1} -\frac{1}{101}=\frac{100}{101}[/tex].
Deci suma este [tex]200+\frac{100}{101}[/tex]