👤

Se consideră matricea [tex]$A(x)=\left(\begin{array}{cc}2^{x} & 0 \\ 0 & 3^{x}\end{array}\right)$[/tex], unde [tex]$x$[/tex] este număr real.

[tex]$5 p$[/tex] a) Arătați că [tex]$\operatorname{det}(A(x))=6^{x}$[/tex], pentru orice număr real [tex]$x$[/tex].

[tex]$5 p$[/tex] b) Determinați numărul real [tex]$x$[/tex], știind că [tex]$A(x) \cdot\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right) \cdot A(x)$[/tex].

5p c) Demonstrați că, orice matrice [tex]$X \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})$[/tex] cu proprietatea că [tex]$X \cdot X=A(1)$[/tex] are două elemente numere iraționale.


Răspuns :

[tex]A(x)=\left(\begin{array}{cc}2^{x} & 0 \\ 0 & 3^{x}\end{array}\right)[/tex]

a)

Calculam det(A(x)), facem diferenta dintre produsul diagonalelor

det(A(x))=2ˣ × 3ˣ-0=6ˣ

b)

[tex]\left(\begin{array}{cc}2^{x} & 0 \\ 0 & 3^{x}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2^{x} & 2^x \\ 0 & 3^{x}\end{array}\right)[/tex]

[tex]\left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}2^{x} & 0 \\ 0 & 3^{x}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2^{x} & 3^x \\ 0 & 3^{x}\end{array}\right)[/tex]

[tex]2^x=3^x\\\\x=0[/tex]

c)

[tex]Fie\ X=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c & d\end{array}\right)[/tex]

[tex]X\cdot X=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c & d\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}a& b\\ c & d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a^2+bc&ab+bd\\ ac+cd& bc+d^2\end{array}\right)\\\\\left(\begin{array}{cc}a^2+bc&ab+bd\\ ac+cd& bc+d^2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2&0\\ 0&3\end{array}\right)[/tex]

a²+bc=2

b(a+d)=0

b=0 si a+d=0

a=-d

c(a+d)=0

c=0

a=-d

bc+d²=3

d²=3⇒ d=±√3 care este numar irational

a²+bc=2

a²=2

a=±√2 care este numar irational

Un alt exercitiu cu matrice gasesti aici: https://brainly.ro/tema/9919039

#BAC2022

#SPJ4