Se consideră matricea [tex]$A(x, y)=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ x & y\end{array}\right)$[/tex], unde [tex]$x$[/tex] şi [tex]$y$[/tex] sunt numere reale.

5p 1. Arătaţi că det [tex]$(A(0,0))=0$[/tex].

5p 2. Calculaţi [tex]$A(0,0) \cdot A(1,1)$[/tex].

5p 3. Arătaţi că [tex]$\operatorname{det}(A(x, y))+\operatorname{det}(A(y, x))=0$[/tex], pentru orice numere reale [tex]$x$[/tex] şi [tex]$y$[/tex].

5p 4. Determinaţi numerele reale [tex]$x$[/tex] şi [tex]$y$[/tex] pentru care [tex]$A(x, y) \cdot A(x, y)=2 A(x, y)$[/tex].

5p 5. Determinaţi numărul natural nenul [tex]$n$[/tex] pentru care [tex]$A(1,1)+A(2,2)+\ldots+A(n, n)=n A(4,4)$[/tex].

5p 6. Determinaţi numărul perechilor [tex]$(m, n)$[/tex] de numere naturale pentru care suma elementelor matricei [tex]$A(m, n)$[/tex] este egală cu 102 .

[tex]A(0,0)\cdot A(1,1)=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}2 & 2 \\ 0 & 0\end{array}\right)[/tex]

3)

det(A(x,y))=y-x

det(A(y,x))=x-y

y-x+x-y=0

4)

[tex]A(x, y)\cdot A(x,y)=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ x & y\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ x & y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}1+x & 1+y \\ x+xy & x+y^2\end{array}\right)[/tex]

[tex]\left(\begin{array}{ll}2 & 2 \\2 x & 2y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}1+x & 1+y \\ x+xy & x+y^2\end{array}\right)[/tex]

1+x=2

x=1

1+y=2

y=1

5)

[tex]A(1,1)+A(2,2)+...+A(n,n)=\left(\begin{array}{ll}n& n \\ \frac{n(n+1)}{2} &\frac{n(n+1)}{2} \end{array}\right)\\\\\left(\begin{array}{ll}n& n \\ \frac{n(n+1)}{2} &\frac{n(n+1)}{2} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}n& n \\ 4n &4n \end{array}\right)[/tex]

[tex]\frac{n(n+1)}{2} =4n\\\\n^2+n-8n=0\\\\n^2-7n=0\\\\n(n-7)=0\\\\n=0\ si\ n=7[/tex]

Cum n este natural nenul, n=7

6)

1+1+m+n=102

m+n=100

Fie m=x

n=100-x

x={0,1,2,...,100}

Deci avem 101 perechi de numere

Un alt exercitiu cu matrice gasesti aici: https://brainly.ro/tema/9919033

#BAC2022

#SPJ4