[tex]f(x)=\frac{2 x+4}{x^{2}+4 x+3}[/tex]
a)
x²+4x+3=x²+x+3x+3=x(x+1)+3(x+1)=(x+1)(x+3)
[tex]\int\limits^1_0 {(x+1)(x+3)f(x)} \, dx =\int\limits^1_0 2x+4\ dx=\frac{2x^2}{2}|_0^1+4x|_0^1=1+4=5[/tex]
b)
Observam ca (x²+4x+3)'=2x+4
Adica numitorul derivat ne da numaratorul
(vezi tabel integrale atasat)
[tex]\int\limits^2_0{f(x)} \, dx=ln(x^2+4x+3)|_0^2=ln15-ln3=ln5[/tex]
c)
Orice primitiva a functiei f este F
F'(x)=f(x)
Pentru a vedea daca functia este concava ne trebuie derivata a doua, adica F''
F'=f
F''(x)=f'(x)
[tex]F''(x)=f'(x)=\frac{2(x^2+4x+3)-(2x+4)^2}{(x^+4x+3)^2} =\frac{2x^2+8x+6-4x^2-16x-16}{(x^+4x+3)^2} =\frac{-2x^2-8x-10}{(x^+4x+3)^2}[/tex]
F''(x)=0
-2x²-8x-10=0 |:2
-x²-4x-5=0
Δ=16-20=-4<0 ⇒ semnul lui a
⇒ F"(x)<0⇒ f este concava
Un alt exercitiu cu primitive gasesti aici: https://brainly.ro/tema/3195374
#BAC2022
