a)
Expresia este definită pentru valorile lui x care nu anulează numitorul.
Vom descompune în factori numitorul:
[tex]\it x^3+4x^2-4x-16=(x^3-4x)+(4x^2-16)=x(x^2-4)+4(x^2-4)=\\ \\ (x^2-4)(x+4)=(x^2-2^2)(x+4)=(x-2)(x+2)(x+4)=(x+4)(x+2)(x-2)[/tex]
Punem condiția ca numitorul să fie diferit de 0:
[tex](x+4)(x+2)(x-2)\ne 0\Rightarrow \begin{cases}\it x+4\ne0 \Rightarrow x\ne-4\\ \\ \it x+2\ne0 \Rightarrow x\ne-2\\ \\ \it x-2\ne0 \Rightarrow x\ne2\end{cases}[/tex]
Domeniul de definiție al expresiei este:
[tex]\it D=\mathbb{R}\setminus \{-4,\ \ -2,\ \ 2\}[/tex]
b) Descompunem în factori și numărătorul:
[tex]\it (2x-1)^2-(x-5)^2=4x^2-4x+1-x^2+10x-25=3x^2+6x-24=\\ \\ =3(x^2+2x-8)=3(x^2+4x-2x-8)=3\big[(x^2+4x)-2(x+4)\Big]=\\ \\ 3\Big[x(x+4)-2(x+4)\Big]=3(x+4)(x-2)[/tex]
Expresia devine:
[tex]\it E(x)=\dfrac{3(x+4)(x-2)}{(x+4)(x+2)(x-2)} \Rightarrow E(x)=\dfrac{3}{x+2}\ .[/tex]
c)
[tex]\it x\in\mathbb{Z},\ \ E(x)\in\mathbb{Z} \Rightarrow \dfrac{3}{x+2}\in\mathbb{Z} \Rightarrow x+2|3 \Rightarrow x+2\in D_3 \Rightarrow\\ \\ \Rightarrow x+2\in\{\pm1,\ \pm3\} \Rightarrow x+2\in\{-3,\ \ -1,\ \ 1,\ \ 3\}|_{-2} \Rightarrow x\in\{-5,\ -3,\ -1,\ 1\}[/tex]
