Notam a=ipotenuza,
b si c=catetele,
h=inaltimea
d=proiectia catetei b pe ipotenuza
x=proiectia catetei c pe ipotenuza
Avem relatiile:
[tex] \frac{b}{c} = \frac{3}{4} [/tex]<1, deci b<c
b=[tex] \frac{3}{4} [/tex]*c (rel 1)
Din Teorema catetei:
[tex] b^{2} [/tex]=d(d+x)
[tex] c^{2} [/tex]=x(d+x)
Facem raportul celor doua relatii si obtinem:
[tex] \frac{ b^{2} }{ c^{2} } = \frac{d}{x} [/tex] < 1, deci d<x si din enunt reiese ca:
x=d+21 deci:
[tex] b^{2} [/tex]=d(2d+21)
[tex] c^{2} [/tex]=(d+21)(2d+21) (rel 2)
Din Teorema lui Pitagora:
[tex] b^{2} + c^{2} = (2d+21)^{2} [/tex] (rel 3)
Din exprimarea ariei triunghiului dreptunghic in doua moduri avem:
b*c=h(2d+21) (rel 4)
Prelucram relatiile (1), (2), (3) si (4) si obtinem:
Din (1) si (3):
[tex] c^{2} * \frac{5}{4} ^{2} = (2d+21)^{2} [/tex] de unde rezulta ca:
c=[tex] \frac{4}{5} *(2d+21)[/tex] si inlocuim in (2):
[tex] ( \frac{4}{5} )^{2} * (2d+21)^{2} =(d+21)(2d+21)[/tex] deci:
16(2d+21)=25(d+21)
7d=9*21
d=27, deci
ipotenuza=2*27+21=75 cm
c=[tex] \frac{4}{5} *(2*27+21)[/tex] = 60 cm este o cateta
b=[tex] \frac{3}{4} [/tex]*60 = 45 cm este cealalta cateta
h=[tex] \frac{45*60}{75} [/tex] = 36 cm este inaltimea
