Pentru aceste exercitii ne folosim de criterii de divizibilitate bazate pe ultima cifra. Prescurtam U(n) ultima cifra a nr n.
21. U(1^n) = 1
U (2^n) - cifra para
1 + cifra para = cifra impara, intotdeauna
U(3^n) € {3, 7, 9, 1} =>
U(3^n) - cifra impara
U(1^n + 2^n + 3^n) = impar + impar = intotdeauna par
Demonstratia : 2k+1 + 2x+1 =
= 2(k+x) + 2 =
= 2(k+x+1) = par
Daca U(1^n + 2^n + 3^n) = par =>
2 | (1^n + 2^n + 3^n)
22. Ne intereseaza ultima cifra a puterilor lui 2, 3, si 4, fiindca la 1 este mereu 1.
2^1 -> 2 3^1 -> 3 4^1 -> 4
2^2 -> 4 3^2 -> 9 4^2 -> 6
2^3 -> 8 3^3 -> 7 4^3 -> 4
2^4 -> 6 3^4 -> 1 4^4 -> 6
(de aici, patternul se repeta pt 2 si 3)
2^5 -> 2 3^5 -> 3 4^5 -> 4
Notam suma din problema cu S.
Daca n divizibil cu
1(!= divizibil cu niciunul dintre nr de mai jos),
U(S) = U(1 + 2 + 3 + 4) = 0
2, U(S) = U(1+4+9+6) = 0
3, U(S) = U(1+8+7+4) = 0
4, n nu respecta datele din cerinta, deci nu se intampla nimic :)
Cum U(S) e mereu 0,
10 | (1^n + 2^n + 3^n + 4^n) intotdeauna
