[tex]f:(0,+\infty)\to \mathbb{R},\quad f(x) = \dfrac{ax^2+1}{x}\\ \\ \lim\limits_{x\to +0}f(x) = \pm \infty \Rightarrow x = 0\text{ asimptota verticala la }+ \infty \\ \\ \Rightarrow \text{Are asimptota verticala }x=0,\text{ iar asimptota oblica} \\ \text{trebuie sa faca un unghi de 45 de grade cu cea verticala}\\ \\ y = x\rightarrow \text{ asimptota oblica} \\ \text{Dreapta y = x formeaza un unghi de 45 de grade cu axa Oy}.[/tex]
[tex]\text{Ca y = x sa fie asimptota oblica pentru f(x) trebuie ca:}\\ \\\lim\limits_{x\to \pm \infty} \Big[f(x) - x\Big] = 0\Rightarrow\lim\limits_{x\to \pm \infty}\Big[\dfrac{ax^2+1}{x} - x\Big] = 0\Rightarrow\\ \\\Rightarrow \lim\limits_{x\to \pm \infty} \Big[\dfrac{ax^2-x^2+1}{x} \Big] = 0 \Rightarrow \lim\limits_{x\to \pm \infty} \Big[\dfrac{(a-1)x^2+1}{x} \Big] = 0 \\ \\ \Rightarrow \boxed{a = 1}[/tex]
