Explicație pas cu pas:
presupunand ca nu toate ar fi patrate perfecte, printre ele s-ar regasi unul care, in descompunerea sa in factori primi, contine (cel putin) un factor prim la putere impara. Fie a un asemenea numar si p₁,p₂....,pₓ factorii primi care care in descompunerea lui a apar la o putere impara. Deoarece atunci cand a este inmultit cu celelalte 24 de numere naturale se obtine mereu un patrat perfect, rezulta ca p₁,p₂,pₓ apar la putere impara in descompunerea in factori primi a tuturor celorlalte 24 de numere(exceptandu-l pe 0 daca acesta este unul dintre ele). Notand cu d produsul p₁,p₂,p₃....pₓ, toate formele ar trebui sa fie de forma d·n², cu cate un alt n. Rezulta ca cele 25 de numere sunt cel putin 0,d,4d,....24²d, dar cum d≥2, rezulta ca cel mai mare dintre numere este cel putin 2·24²=1152≥1000, deci contradictie.
OBS : afirmatia din problema are loc si pentru 24 de numere, deoarece presupunand contrariul, cel mai mare dintre ele ar fi cel putin 2·23²=1058≥1000, deci contradictie