a. Din a doua conditie a multimii G avem a²-3b²=1 unde a,b∈Z <=> (a-b√3)(a+b√3)=1 ;
Presupunem prin absurd ca 0∈G => a=b=0 sau a=-b√3 dar ultima varianta nu convine deoarece √3∈R\Q iar -b∈Z <=> -b√3∈R\Q <=> a∈R\Q ,contradictie asadar convine varianta a=b=0 => a²-3b²=0-0=0=1 ,fals asadar 0∉G ;acelasi lucru facem pentru 1 si din (a-b√3)(a+b√3)=1 => a+b√3=1 iar a-b√3=1 <=> 2a=2 =>a=1 si b=0 care este posibil asadar 1∈G .
b. Consideram x,y∈G a.i. x=c+d√3 iar y=m+n√3 unde c,d,m,n∈Z => xy=(c+d√3)(m+n√3)=cm+cn√3+dm√3+3dn=cm+dn+(cn+dm)√3 dar deoarece c,d,m,n∈Z => cm+dn∈Z si cn+dm∈Z =>xy∈G pentru orice x,y∈G .
c. Consideram x=c+d√3 unde c,d∈Z => 1/x =1 /c+d√3 =c-d√3 /c²-3d²=c-d√3∈Z =>1/x ∈G pentru orice x∈G .
