a) În triunghiul BCC' știm că e valabilă teorema lui pitagora, adică că
[tex]c^{2} =a^{2} + b^{2} [/tex]
unde a și b sunt catetele , iar c ipotenuză.
În cazul nostru avem BC și CC' catete și BC' ipotenuză.
Așa că o aplicăm astfel:
[tex]BC'^{2}=BC^{2}+CC'^{2} [/tex]
Dar ABCDA'B'C'D' este cub, deci BC=CC'.
Deci relația se poate rescrie astfel:
[tex]BC'^{2} =BC^{2}+BC^{2}[/tex]
Adică
[tex]BC'^{2} =2BC^{2} [/tex]
Dar[tex]BC'=6 \sqrt{2} [/tex]
Așa că
[tex](6 \sqrt{2} )^{2} =2BC^{2} [/tex]
Calculăm.
[tex]36*2=2BC^{2} [/tex]
Împărțim relația prin 2.
[tex]36=BC^{2} [/tex]
Deci[tex]BC= \sqrt{36} [/tex]
[tex]BC=6[/tex]
Cum cubul are 12 muchii, atunci suma lungimilor tuturor muchiilor este[tex]12*6=72[/tex]
b)Cum BCC'B' este pătrat, atunci N este mijlocul lui C'B, dar și B'C.
Ne uităm în triunghiul ABC' și avem că M mijlocul lui AB și N mijlocul lui BC', deci MN este linie mijlocie în triunghiul ABC'.
Deci MN||AC'.
MN se află în planul MB'C pentru că M este vârf și N mijlocul laturii B'C. Deci AC'||(B'MC).
c)Luăm P intersecția și mijlocul laturilor A'D și D'A. Ne uităm în dreptunghiul A'B'CD. Avem că PN este linie mjlocie, pentru că P e mijlocul lui A'D și N mijlocul lui B'C.
Deci PN este paralelă cu A'B'. Știm că A'B' este perpendiculară pe B'C.
Deci PN este perpendiculară pe B'C. Cum PN este inclusă în planul (D'NA), atunci B'C este perpendiculară pe (D'NA).
