piramida cu toate muchiile congruente este un tetraedru regulat
fetele sunt triunghiuri echilaterale de latura a.
DM si BM sunt mediane si inaltimi in tr. echilaterale
a)
DM⊥AC
BM⊥AC ⇒ AC⊥(MBD)
b)
tr. MBD este isoscel:
DM=BM=a√3/2 cm
BD=a cm
MP este mediana si inaltime in tr. isoscel MBD
cu pitagora in MPD ⇒ MP=√(DM^2 - PD^2)=√(3a^2/4 - a^2/4)
MP=a√2/2 cm
aria MBD, A=BD x MP/2=a x a√2/4
A=a^2√2/4 cm2
c)
ducem MN⊥CP
CP⊥BD
MP⊥BD ⇒ T3P R2 ⇒ MN⊥(BCD) ⇒ d(M;(BCD))=MN
CO=2CP/3=2a√3/6
CO=a√3/3 cm
pitagora in AOC, AO=√(AC^2 - CO^2)=√(a^2 - 3a^2/9)
AO=a√6 / 3 cm2
MN este linie mijlocie in tr. AOC ⇒ MN=AO/2=a√6/6 cm
