Pentru a determina valoarea minimă a expresiei algebrice ( E(x) = x^2 + 8x + 6 ), putem folosi o metodă de completare a pătratului sau putem calcula direct derivata și găsi punctul unde derivata se anulează.Metoda completării pătratului: [ E(x) = x^2 + 8x + 6 ] [ E(x) = (x^2 + 8x + 16) - 10 ] (am adăugat și scăzut 16 pentru a completa pătratul lui ( x^2 + 8x )) [ E(x) = (x + 4)^2 - 10 ]Valoarea minimă a expresiei apare atunci când termenul ( (x + 4)^2 ) este minim, adică când ( x = -4 ). Înlocuind ( x = -4 ) în expresia ( E(x) ), obținem: [ E(-4) = (-4 + 4)^2 - 10 = 0^2 - 10 = -10 ]Deci, valoarea minimă a expresiei ( E(x) = x^2 + 8x + 6 ) este -10 și se atinge atunci când ( x = -4 ).Metoda derivatelor: Putem calcula derivata primei funcții și găsi punctul unde derivata este zero pentru a determina minimul. [ E'(x) = 2x + 8 ] [ 2x + 8 = 0 ] [ x = -4 ]Apoi putem verifica că acest punct este minim prin testarea semnelor derivatei secunde: [ E''(x) = 2 ] Deoarece ( E''(-4) = 2 > 0 ), avem un minim local la ( x = -4 ), iar valoarea minimă este obținută înlocuind ( x = -4 ) în expresia inițială ( E(x) ).
