Răspuns:
8R
Explicație pas cu pas:
cerc înscris în trapezul isoscel ABCD, AB || DC, AD ≡ BC; notăm AB = B și DC = b
ducem OE ⊥ BC, E ∈ BC
notăm cu R mijlocul segmentului DC și cu T mijlocul segmentului AB
[tex]CE = CR = \frac{DC}{2} = \frac{b}{2} \\ BE = BT = \frac{AB}{2} = \frac{B}{2} \\ BC = BE + CE \implies \bf BC = \frac{B + b}{2} [/tex]
[tex]P_{ABCD} = AB + 2 \cdot BC + DC = B + 2 \cdot \frac{B + b}{2} + b \\ \iff P_{ABCD} = 2 \cdot (B + b)[/tex]
ducem înălțimea CN ⊥ AB, N ∈ AB
CN ≡ RT, RT este diametru în cerc
=> CN = 2×R
[tex]BN = \frac{AB - DC}{2} \implies \bf BN = \frac{B - b}{2} \\ [/tex]
T.P. în ΔCNB: CN² = BC² - BN²
[tex]{(2R)}^{2} = {\Big(\frac{B + b}{2}\Big)}^{2} - {\Big(\frac{B - b}{2}\Big)}^{2}\\4{R}^{2} = \frac{ {(B + b)}^{2} }{4} - \frac{ {(B - b)}^{2} }{4}\\{(B + b)}^{2} = 16{R}^{2} + {(B - b)}^{2} \\ {[2(B + b)]}^{2} = 64{R}^{2} + 4{(B - b)}^{2} \\ P_{ABCD} = \sqrt{64{R}^{2} + 4{(B - b)}^{2}}[/tex]
Perimetrul are valoarea minimă atunci când B - b = 0, adică B = b => ABCD este pătrat
[tex]P_{ABCD} = \sqrt{64{R}^{2}} \iff \bf P_{ABCD} = 8R \\ [/tex]
