Răspuns:
70)
O soluție este [tex]x=y=z=0[/tex]. Căutăm și alte soluții.
Trecând la module și adunând egalitățile obținem
[tex]|x|^2+|y|^2+|z|^2=|x|\cdot |y|+|y|\cdot |z|+|z|\cdot |x|\Rightarrow |x|=|y|=|z|=r > 0[/tex]
Atunci sistemul devine
[tex]\begin{cases}xr=z^2\\yr=x^2\\zr=y^2\end{cases}[/tex]
de unde
[tex]x=\displaystyle\frac{z^2}{r}, \ y=\frac{x^2}{r}=\frac{z^4}{r^3}\Rightarrow z=\frac{y^2}{r}=\frac{z^8}{r^7}\Rightarrow z^7=r^7\Rightarrow z=r\epsilon[/tex]
unde [tex]\epsilon[/tex] este o rădăcină de ordinul 7 a unității, deci
[tex]x=r\epsilon^2, \ y=r\epsilon^4, r\in(0,\infty)[/tex]
Deci soluțiile sunt
[tex](x,y,z)=(r\epsilon^2,r\epsilon^4, r\epsilon)[/tex] și permutările acesteia.
71)
Fie [tex]z=r(\cos t+i\sin t)\in\mathbb{C}-\mathbb{R}[/tex] o rădăcină a ecuației.
Deci [tex]r\ne 0, \ \sin t\ne 0[/tex]
Înlocuind în ecuație rezultă
[tex]r^n(\cos nt+i\sin nt)+nr(\cos t+\sin t)+a=0\Rightarrow r^n\sin nt+nr\sin nt=0\Rightarrow\\\Rightarrow r^n\sin nt=-nr\sin t\Rightarrow r^n|\sin nt|=nr|\sin t|[/tex]
Prin inducție se arată că [tex]|\sin nt| < n|\sin t|[/tex]
Atunci
[tex]nr|\sin t| < nr^n|\sin t|\Rightarrow r > 1\Rightarrow |z| > 1[/tex]
Explicație pas cu pas:
