Răspuns:
a) Proprietatea cerută înseamnă că
[tex]f_m(x)\le 0, \ \forall x\in\mathbb{R}[/tex]
Atunci
[tex]\begin{cases}m-1 < 0\\\Delta\le 0\end{cases}[/tex]
Rezultă [tex]m\in(-\infty, 1)[/tex] și
[tex]-3m^2+2m+5\le 0\Rightarrowm\Rightarowm\in\left(-\infty,-1\right]\cup\left[\displaystyle\frac{5}{3},\infty\right)[/tex]
Din amândouă rezultă [tex]m\in(-\infty,-1)[/tex]
b) [tex]f_3(x)=2x^2+4x+4=2(x^2+2x+2) > 0, \ \forall x\in\mathbb{R}[/tex]
Atunci
[tex](g\circ f_3)(x)=f_3(x)-2=2x^2+4x+2[/tex]
c) Fie
[tex]F(x)=\displaystyle\frac{-x^2+x+1}{x^2+3x+3}=y\Rightarrow (y+1)x^2+(3y-1)x+3y-1=0[/tex]
Ecuația trebuie să aibă soluții reale, deci [tex]\Delta\ge 0[/tex]
[tex](3y-1)(-y-5)\ge 0\Rightarrow y\in\left[-5,\displaystyle\frac{1}{3}\right][/tex]
Deci maximul funcției F este [tex]\displaystyle\frac{1}{3}[/tex].
d) [tex]Img=g(\mathbb{R})=g((-\infty,0])\cup g((0,\infty))=[2,\infty)\cup(-2,\infty)=(-2,\infty)[/tex]
Deci g nu poate lua valori mai mici decât -2. Putem lua b = -3.
e) [tex]g(0)=g(4)=2[/tex]
f) Vârful parabolei are coordonatele
[tex]V\left(-\displaystyle\frac{m+1}{2(m-1)},\frac{3m^2-2m-5}{4(m-1)}\right)[/tex]
Înlocuind în ecuația dreptei rezultă
[tex]\displaystyle\frac{3m^2-2m-5}{4(m-1)}=-\frac{2(m+1)}{m-1}\Rightarrow 3(m+1)^2=0\Rightarrow m=-1[/tex]
Explicație pas cu pas:
