Răspuns:
a) [tex]f'(x)=4x-5+\displaystyle\frac{1}{x}=\frac{4x^2-5x+1}{x}[/tex]
Aflând rădăcinile ecuației [tex]4x^2-5x+1=0[/tex], rezultă [tex]x_1=1, \ x_2=\displaystyle\frac{1}{4}[/tex].
Atunci [tex]f'(x)=\displaystyle\frac{(x-1)(4x-1)}{x}[/tex]
b) Avem cazul [tex]\displaystyle\frac{\infty}{\infty}[/tex] și se aplică l'Hospital.
[tex]\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{f(x)}=\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{1}{x}}{f'(x)}=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{(x-1)(4x-1)}=0[/tex]
c) Ecuația tangentei este
[tex]y-f(1)=f'(1)(x-1)[/tex]
[tex]f(1)=-3, \ f'(1)=0\Rightarrow y+3=0[/tex]
Explicație pas cu pas:
