Răspuns:
ex.27
Explicație pas cu pas:
[tex]A = \{9; 15; 21; ...; 3003\} \\ [/tex]
a)
[tex]A = \{3 \cdot 3; 3 \cdot 5; 3 \cdot 7; ...; 3 \cdot 1001\} \\ [/tex]
numărul de elemente al mulțimii A este:
[tex] \frac{1001 - 3}{2} + 1 = 499 + 1 = 500 \\ [/tex]
=> card (A) = 500
[tex]S = 3 \cdot 3 + 3 \cdot 5 + 3 \cdot 7 + ... + 3 \cdot 1001 \\ [/tex]
[tex]= 3 \cdot (3 + 5 + 7 + ... + 1001) \\ [/tex]
[tex]= 3 \cdot (1 + 2 \cdot 1 + 1 + 2 \cdot 2 + 1 + 2 \cdot 3 + ... + 1 + 2 \cdot 500) \\ [/tex]
[tex]= 3 \cdot \Big[\underbrace{1 + 1 + 1 + ... + 1}_{500} + 2 \cdot (1 + 2 + 3 + ... + 500)\Big] \\[/tex]
[tex]= 3 \cdot \Big(500 + 2 \cdot \frac{500 \cdot 501}{2} \Big) = 3 \cdot \Big(500 + 500 \cdot 501 \Big) \\ [/tex]
[tex]= \bf 3 \cdot 500 \cdot 502 = 753000[/tex]
b)
[tex]{2}^{n + 3} - {2}^{n + 1} - {2}^{n} = {2}^{n} \cdot ( {2}^{3} - {2}^{1} - {2}^{0} ) = \\ = {2}^{n} \cdot (8 - 2 - 1) = 5 \cdot {2}^{n} = \bf 5 \cdot {2}^{500}[/tex]
q.e.d.
