Răspuns:
A este divizibil cu 7×37×43
Explicație pas cu pas:
▪︎ observăm că:
1 + 6 = 7
suma are 102 de termeni, pe care îi putem grupa câte 2:
[tex]A = (1 + 6) + ({6}^{2} + {6}^{3}) + ... + ({6}^{98} + {6}^{99}) + ({6}^{100} + {6}^{101}) = (1 + 6) + {6}^{2}(1 + 6) + ... + {6}^{98}(1 + 6) + {6}^{100}(1 + 6) = 7 \cdot (1 + {6}^{2} + ... + {6}^{98} + {6}^{100}) \red { \bf \ \vdots \ 7}[/tex]
=> numărul A este divizibil cu 7
▪︎ observăm că:
1 + 6² = 37
suma are 102 de termeni, pe care îi putem grupa câte 2:
[tex]A = (1 + {6}^{2} ) + ({6}^{1} + {6}^{3}) + ... + ({6}^{98} + {6}^{100}) + ({6}^{99} + {6}^{101}) = (1 + {6}^{2} ) + {6}^{1}(1 + {6}^{2} ) + ... + {6}^{98}(1 + {6}^{2} ) + {6}^{99}(1 + {6}^{2} ) = (1 + {6}^{2}) \cdot (1 + {6}^{4} + ... + {6}^{98} + {6}^{99} ) = 37 \cdot (1 + {6}^{4} + ... + {6}^{98} + {6}^{99} )\red { \bf \ \vdots \ 37}[/tex]
▪︎ observăm că:
1 + 6 + 6² = 43
suma are 102 de termeni, pe care îi putem grupa câte 3:
[tex]A = (1 + 6 + {6}^{2}) + ({6}^{3} + {6}^{4} + {6}^{5}) + ... + ({6}^{99} + {6}^{100} + {6}^{101}) = (1 + 6 + {6}^{2}) + {6}^{3}(1 + 6 + {6}^{2}) + ... + {6}^{99}(1 + 6 + {6}^{2}) = (1 + 6 + {6}^{2})(1 + {6}^{3} + ... + {6}^{99}) = 43 \cdot (1 + {6}^{3} + ... + {6}^{99}) \red { \bf \ \vdots \ 43}[/tex]
[tex]\implies \red { \bf A\ \vdots \ 7 \cdot 37 \cdot 43}[/tex]
q.e.d.
