3. Se consideră triunghiul echilateral ABC cu perimetrul de 24 cm. Notăm cu M mijlocul laturii AB, cu N simetricul punctului M faţă de punctul A, cu P simetricul punctului M față de dreapta AC şi NP intersectate BC = {E}.
a) Determinaţi unghiul MPN.
b) Arătați că AC este paralel cu NE.
c) Calculați Pʙɴᴇ.

Question

a fost răspuns

Răspuns :

Andyilye Andyilye · Answer 1 · 2022-08-04T16:16:55+03:00

Explicație pas cu pas:

ΔABC triunghi echilateral, perimetrul 24 cm

AB ≡ AC ≡ BC = 8 cm

M este mijlocul laturii AB => AM ≡ MB

=> AM = MB = ½×AB = ½×8 = 4 cm

N este simetricul punctului M faţă de punctul A

=> AN ≡ AM => AN = AM = 4 cm

P este simetricul punctului M față de dreapta AC

=> MP ⊥ AC

notăm MP ∩ AC = {D} => MD ≡ DP

a) în ΔMPN: AN ≡ AM și MD ≡ DP => AD este linie mijlocie => AD || NP

MP ⊥ AC => MP ⊥ AD => MP ⊥ NP

=> ∢MPN = 90°

b) AD este linie mijlocie în ΔMPN, AD || NP

D ∈ AC și P ∈ NE => AC || NE

c) AC || NE =>

∢BNE = ∢BAC = 60°

∢BEN = ∢BCA = 60°

=> ΔBNE este echilateral

BN = AB + AN = 8 + 4 = 12 cm

Pʙɴᴇ = 3×BN = 3×12 = 36 cm