Ultima cifre pentru 5^x este 1 daca x=0 si 5 in rest.
Notam:
[tex]s = {5}^{x} + {5}^{y} + {5}^{z} + {5}^{u} + {5}^{v} [/tex]
1.Presupunem ca x, y, z, u, v sunt toate mai mari strict decat 0,atunci ultima cifre a numarului s este 5, dar ultima cifra pt 777 este 7 rezulta contradicție.
2.Pt x, y, z, u>0 si v=0 ultima cifra a numarului s este 1,la fel se obține contradicție
3.Pt x, y, z>0 si u=v=0 rezulta ultima cifra a lui s este 7.
4. x, y>0 si z=u=v=0 => ultima cifra 3
5. x>0 si y=z=u=v=0 => ultima cifra 9
6.toate egale cu 0 => ultima cifra 5
Singurul caz plauzibil este cazul 3.
Rezulta :
[tex]s = {5}^{x} + {5}^{y} + {5}^{z} = 775[/tex]
Daca toate x, y, z<4 =>max(s)=475 contradicție
Cel putin unul(de fapt doar unul) dintre x, y, z trebuie sa fie 4
X=4,u=v=0
Rezulta se simplifica iar problema
[tex]s = {5}^{y} + {5}^{z} = 150[/tex]
Asemănător se arata ca y=3 si z=2
Solutia este :
X=4
Y=3
Z=2
U=0
V=0
