Răspuns:
Teremenul al treilea din dezvoltare îl conține pe x²
Explicație pas cu pas:
Problema se rezolvă cu ajutorul binomului lui Newton.
Formula termenului general pentru dezvoltarea (a+b)ⁿ este
[tex]T_{k+1} = C_{n} ^{k}* a^{n-k} *b^{k}[/tex]
În cazul nostru:
[tex](\sqrt{x} + \frac{1}{x} )^{10} = (x^{\frac{1}{2} } + x^{-1} )^{10}[/tex]
[tex]T_{k+1} = C^{k} _{n} * (x^{\frac{1}{2} } )^{10-k} * (x^{-1} )^{k}[/tex]
Conform enunțului rezultă:
[tex](x^{\frac{1}{2} } )^{10-k} * (x^{-1} )^{k} = x^{2}[/tex]
[tex]x^{\frac{10-k}{2} } * x^{-k} = x^{2}[/tex]
De unde
[tex]\frac{10-k}{2} - k = 2[/tex]
[tex]\frac{10-k-2k}{2} = 2[/tex]
10 -3k = 4 ⇒ 3k = 6 ⇒ k = 2
Așadar, termenul al 3-lea îl conține pe x²
