Răspuns:
Varianta corectă: a) 4
Explicație pas cu pas:
Dezvoltarea se face conform binomului lui Newton:
[tex](a+b)^{n} = C_{n} ^{0} a^{n} b^{0} + C_{n} ^{1} a^{n-1} b + ... + C_{n} ^{n} a^{0} b^{n}[/tex]
Coeficientul lui a este n-k, iar coeficientul lui b este k.
n = 21, iar k ia valori de la 0 la 21.
Termenii binomului sunt:
[tex]\sqrt{x} = x^{\frac{1}{3} }[/tex]
[tex]\frac{1}{\sqrt{x} } = x^{-\frac{1}{2} }[/tex]
Condițiile pentru ca exponenții să fie numere întregi sunt:
1. 21-k (exponentul primului termen) trebuie să fie multiplu de 3
2. k (exponentul celui de-al doilea termen) trebuie să fie multiplu de 2.
Adică: [tex]\frac{21-k}{3} + \frac{k}{2}[/tex] ∈ Z
Echivalent cu [tex]\frac{42-2k + 3k}{6}[/tex] ∈ Z ⇔ [tex]7 +\frac{k}{6}[/tex] ∈ Z ⇔ [tex]\frac{k}{6}[/tex] ∈ Z
Așadar, k = {0, 6, 12, 18} - în total 4 soluții.
Varianta corectă de răspuns este a)
