Modul in care f(n) evolueaza fata de f(n-1) este in cicluri de cate 3*2=12, ceea ce este oarecum intuitiv daca ne gandim ca facem o operatie diferita in functie de restul imparirii numarului la 2 si 3.
Vom studia ce se intample pe parcursul a unei perioade de 12 valori consecutive intr-un tabel (cum evolueaza numarul curent fata de numarul anterior):
n | f(n)-f(n-1)
0 0
1 0
2 +1
3 +1
4 +1
5 -3
6 +1
7 -3
8 +1
9 +1
10 +1
11 -3
Numarul 1 si 0 sunt cazuri speciale pentru primul ciclu (acestea sunt definite din start ca fiind 0). Totusi acest lucru nu se intampla la fiecare ciclu. Spre exemplu, pentru :
n | f(n)-f(n-1)
12 +1
13 -1
Acest lucru se intampla la fiecare ciclu de 12 elemente (mai putin la primul.).
Deci putem defini urmatorul tabel pentru cazul general :
n | f(n)-f(n-1)
12k + 1 -3
12k + 2 +1
12k + 3 + 1
12k + 4 + 1
12k + 5 - 3
12k + 6 + 1
12k + 7 - 3
12k + 8 + 1
12k + 9 + 1
12k + 10 + 1
12k + 11 - 3
pentru orice k>0.
Deci observam ca la fiecare ciclu, intre f(12k + 1) si f(12(k+1) + 1) exista o diferenta de -4 (adunam toate diferentele si obtinem -4).
Spre exemplu :
f(1) = 0
f(13) = -4 = -4*((13-1) : 12)
f(25) = -8 = -4*((25-1) : 12)
f(37) = -12 = -4*((37-1) : 12)
f(49) = -16 = -4*((49-1) : 12)
etc.
2022 DIV 12 = 168
168 * 12 = 2016
Deci f(2017) = -4*168 = -672
Urmarind tabelul pe cazul general (ultimul tabel) putem merge usor din aproape in aproape pana la 2022 :
f(2018) = f(2017)+1 = -671
f(2019) = f(2018) +1 = -670
f(2020) = f(2019)+1 = -669
f(2021) = f(2020)-3 = -672
f(2022) = f(2021)+1 = -671
Acelasi este rezultatul la care am ajuns si in urma evaluarii in urma testului, deci rezultatul (si modul de lucru) e probabil corect .
