O functie este injectiva daca si numai daca este strict crescatoare, sau strict descrescatoare pe tot domeniul de definitie.
(Daca ar fi crescatoare pe o portiune si descrescatoare pe alta portiune (sau invers), atunci ar exista doua valori diferite [tex]x_1\neq x_2[/tex] pentru care [tex]f(x_1)=f(x_2)[/tex] adica functia nu ar fi injectiva.)
Pentru a fi strict crescatoare sau strict descrescatoare pe tot domeniul, inseamna ca derivata sa nu trebuie sa-si schimbe semnul.
Calculam derivata
[tex]f'(x)=3x^2+a[/tex]
Se observa ca derivata este pozitiva pentru orice [tex]a\ge0[/tex].
Inseamna ca functia [tex]f[/tex] este strict crescatoare.
Deci pentru [tex]a\ge0[/tex] functia este injectiva.
Ramane sa verificam ce se intampla daca [tex]a < 0[/tex].
In acest caz, derivata va fi 0 atunci cand [tex]x=\pm\sqrt\frac{-a}{3}[/tex].
Stim ca functia de gradul doi are semn schimbat intre radacini, ceea ce inseamna ca derivata isi schimba semnul, deci functia [tex]f[/tex] va trece de la crescatoare la descrescatoare, adica nu este injectiva.
Inseamna ca raspunsul corect este B.
