Răspuns:
07
Explicație pas cu pas:
[tex]S = {7}^{1} + {7}^{2} + {7}^{3} + ... + {7}^{2013}[/tex]
știm că ultima cifră a puterilor lui 7 se repetă din patru în patru puteri consecutive
[tex]{7}^{1} = 7[/tex]
[tex]{7}^{2} = 49[/tex]
[tex]{7}^{3} = 343[/tex]
[tex]{7}^{4} = 2401[/tex]
observăm că adunând aceste 4 numere, obținem:
[tex]{7}^{1} + {7}^{2} + {7}^{3} + {7}^{4} = 7 + 49 + 343 + 2401 = 2800[/tex]
adică un număr cu ultimele două cifre zerouri
deoarece 2013 = 4•503 + 1, putem scrie suma:
[tex]S = ({7}^{1} + {7}^{2} + {7}^{3} + {7}^{4}) + {7}^{5}({7}^{1} + {7}^{2} + {7}^{3} + {7}^{4}) + ... + {7}^{2008}({7}^{1} + {7}^{2} + {7}^{3} + {7}^{4}) + {7}^{2013} = ({7}^{1} + {7}^{2} + {7}^{3} + {7}^{4})(1 + {7}^{5} + ... + {7}^{2008}) + {7}^{2013} = 2800 \cdot (1 + {7}^{5} + ... + {7}^{2008}) + {7}^{2013} = 100\cdot [28 \cdot (1 + {7}^{5} + ... + {7}^{2008})] + {7}^{2013}[/tex]
și:
[tex]U_{2}(S) = U_{2}(100\cdot [28 \cdot (1 + {7}^{5} + ... + {7}^{2008})]) + U_{2}( {7}^{2013} ) = 0 + U_{2}( {7}^{2013} ) = U_{2}( {7}^{2013} ) [/tex]
=> ultimele două cifre ale sumei S vor fi date de 7²⁰¹³
[tex]{7}^{2013} = {7}^{4 \cdot 503 + 1} = {7}^{4 \cdot 503}\cdot7 = { ({7}^{4}) }^{503}\cdot7 = {2401}^{503} \cdot7[/tex]
2401 ridicat la orice putere va avea ultimele două cifre 01
[tex]\implies U_{2}(S) = U_{2}( {7}^{2013} ) = U_{2}( {2401}^{503} \cdot 7 ) = U_{2}( {2401}^{503})\cdot U_{2}(7) = U_{2}(01)\cdot U_{2}(7) = \red {\boxed {\bf 07}}[/tex]
