Ex ăsta vă rog! am nevoie de rezolvare completă….

Consideram functia [tex]f(x)=\sqrt{x+2}-\sqrt{x+3}[/tex].
Fiind vorba despre solutii reale si radicali, apar restrictiile:
[tex]x+2\ge 0 \implies x \ge -2[/tex]
[tex]x+3 \ge 0 \implies x \ge -3[/tex]
Deci [tex]x\ge -2[/tex].

Calculam derivata
[tex]f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x+2}}-\frac{1}{2\sqrt{x+3}}=\frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt{x+2}}-\frac{1}{\sqrt{x+3}})[/tex]

Dar [tex]\sqrt{x+2} < \sqrt{x+3}\text{ , }\forall x\in[-2, \infty)[/tex]

[tex]\implies \frac{1}{\sqrt{x+2}} > \frac{1}{\sqrt{x+3}}\text{ , }\forall x\in[-2, \infty)[/tex]

[tex]\implies \frac{1}{\sqrt{x+2}}-\frac{1}{\sqrt{x+3}} > 0\text{ , }\forall x\in[-2, \infty)[/tex]

[tex]\implies f'(x) > 0\text{ , }\forall x\in[-2, \infty)[/tex]

[tex]\implies \text{ }f \text{ este crescatoare pe }[-2, \infty)[/tex]

Se observa ca [tex]\sqrt2-\sqrt3=f(0)[/tex].

Atunci inegalitatea devine [tex]f(x) < f(0)[/tex].

Dar [tex]f[/tex] este crescatoare. Atunci [tex]f(x) < f(0)\implies x < 0[/tex]

[tex]x\ge-2[/tex] si [tex]x < 0[/tex] inseamna ca [tex]x\in [-2, 0)[/tex].

Deci raspunsul corect este B.

Andyilye Andyilye · Answer 2 · 2022-07-10T19:45:03+03:00

Explicație pas cu pas:

[tex]\sqrt{x + 2} - \sqrt{x + 3} < \sqrt{2} - \sqrt{3} [/tex]

condiții de existență:

[tex]x + 2 \geqslant 0 \implies x \geqslant - 2 \\ x + 3 \geqslant 0 \implies x \geqslant - 3 \\ x \in [ - 2, + \infty) [/tex]

[tex](\sqrt{x + 2} - \sqrt{x + 3}) - ( \sqrt{2} - \sqrt{3}) < 0 \\[/tex]

x este funcție strict crescătoare

[tex] \sqrt{x + 2} < \sqrt{2} \\ \sqrt{x + 3} < \sqrt{3} \\ x \in ( - \infty , 0) [/tex]

[tex]x \in [ - 2, + \infty) \cap ( - \infty , 0) \implies x \in [ - 2, 0) \\ [/tex]