Răspuns :
Explicație pas cu pas:
ABCD trapez isoscel: AD ≡ BC
notăm AB = B și DC = b
EF diametrul cercului înscris în trapez
AB, DC, AD și BC tangente la cerc
E ∈ AB, F ∈ DC, EF ⊥ AB și EF ⊥ DC
DF ≡ C F = DC÷2
AE ≡ EB = AB÷2
notăm: OM ⊥ BC, M ∈ BC
OM ≡ OF ≡ OE (razele cercului)
ΔOBE ≡ ΔOBM => BE = BM = AB÷2 = B÷2
ΔOC F ≡ ΔOCM => C F ≡ CM = DC÷2 = b÷2
BC = BM + CM = AB÷2 + DC÷2 = (B + b)÷2
notăm: CN ⊥ AB, N ∈ AB, CN ≡ EF
NE ≡ C F = b÷2
BN = BE - NE = B÷2 - b÷2 = (B - b)÷2
T.P. în ΔCBN: CN² = BC² - BN² =
[tex] = {\left(\frac{B + b}{2} \right)}^{2} - {\left(\frac{B - b}{2} \right)}^{2} = \\ = \frac{ {B}^{2} + 2bB + {b}^{2} - {B}^{2} + 2bB - {b}^{2} }{4} \\ = \frac{4bB}{4} = b \cdot B\implies CN = \sqrt{b \cdot B} [/tex]
[tex]\implies EF = \sqrt{b \cdot B} [/tex]
q.e.d.