Răspuns:
x = 2
Explicație pas cu pas:
[tex]{9}^{x} + 2 \cdot {3}^{x} = 99[/tex]
[tex]{( {3}^{2} )}^{x} + 2 \cdot {3}^{x} - 99 = 0[/tex]
[tex]{( {3}^{x} )}^{2} + 2 \cdot {3}^{x} - 99 = 0[/tex]
notăm:
[tex]{3}^{x} = t, \: t > 0[/tex]
ecuația devine:
[tex]{t}^{2} + 2 \cdot t - 99 = 0[/tex]
din Relațiile lui Viete:
[tex]{x}^{2} - Sx + P = 0[/tex]
rădăcinile ecuației de gradul doi:
[tex]x_{1} \: si \: x_{2}[/tex]
[tex]S = x_{1} + x_{2}[/tex]
[tex]P = x_{1}x_{2}[/tex]
atunci:
[tex]{t}^{2} - (- 2) \cdot t + (- 99) = 0[/tex]
=>
[tex]S = t_{1} + t_{2} = (-11) + 9 = -2[/tex]
[tex]P = t_{1}\cdot t_{2} = (-11)\cdot 9 = -99[/tex]
deci:
[tex](t + 11)(t - 9) = 0[/tex]
[tex]t_{1} = - 11 < 0 \\ t_{2} = 9 > 0[/tex]
avem doar o soluție, t = 9
revenim și înlocuim:
[tex] {3}^{x} = 9 \iff {3}^{x} = {3}^{2} \implies x = 2 \\ [/tex]
