Explicație pas cu pas:
presupunem că există o greșeală de tipar, iar 430 este 460
atunci, pentru orice k ≥ 1, k ∈ N, avem:
[tex]\frac{1}{3k - 1} - \frac{1}{3k + 2} = \frac{3k + 2 - (3k - 1)}{(3k - 1)(3k + 2)} \\ = \frac{3}{(3k - 1)(3k + 2)} \\ [/tex]
→
[tex]b = \frac{3}{10} + \frac{3}{40} + \frac{3}{88} + ... + \frac{3}{340} + \frac{3}{460} = \\ [/tex]
[tex]= \frac{3}{2 \times 5} + \frac{3}{5 \times 8} + \frac{3}{8 \times 11} + ... + \frac{3}{17 \times 20} + \frac{3}{20 \times 23} \\ [/tex]
[tex]= \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{5} \right) + \left(\frac{1}{5} - \frac{1}{8} \right) + \left(\frac{1}{8} - \frac{1}{11} \right) + ... + \left(\frac{1}{17} - \frac{1}{20} \right) + \left(\frac{1}{20} - \frac{1}{23} \right) \\ [/tex]
[tex]= \frac{1}{2} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{8} + \frac{1}{8} - \frac{1}{11} + ... + \frac{1}{17} - \frac{1}{20} + \frac{1}{20} - \frac{1}{23} \\ [/tex]
[tex]= \frac{1}{2} - \frac{1}{23} = \frac{23 - 2}{2 \times 23} = \frac{21}{46} \\ [/tex]
→ raportul dintre a și b:
[tex]\frac{a}{b} = \frac{3}{23} \div \frac{21}{46} = \frac{3}{23} \times \frac{46}{21} = \frac{2}{7} \\ [/tex]
p.s. mulțumesc, @albatran
