Răspuns:
x=y=z=±[tex]\sqrt{2}[/tex]
Explicație pas cu pas:
O problema frumoasa si interesanta.
In primul rind trebuie banuit ca datorita simetriei ecuatiilor, x, y si z sint egale intre ele. Dar asta nu tine loc de demonstratie, ci doar de ghidare.
Din ecuatii observa, ca x, y si z NU pot fi 0.
[tex]2x = y + \frac{2}{y}, adica \ 2xy=y^{2} + 2, adica \ xy > 0\\[/tex]
In mod asemanator gasim si ca yz>0 si xz>0.
Din cele 3 inegalitati, xy>0, xz>0, yz>0 inseamna ca x, y si z au toate acelasi semn.
Daca adunam ecuatiile din problema gasim:
[tex]2x+2y+2z=(y+\frac{2}{y})+(z+\frac{2}{z})+(x+\frac{2}{x})\\2x+2y+2z=(x+y+z)+(\frac{2}{x}+\frac{2}{y}+\frac{2}{z})\\x+y+z=\frac{2}{x}+\frac{2}{y}+\frac{2}{z}\\\\(x-\frac{2}{x})+(y-\frac{2}{y})+(z-\frac{2}{z})=0 \ \ \ \ \ (ec \ 1)[/tex]
Ne uitam la prima ecuatie din problema:
[tex]2x=y+\frac{2}{y}\\2xy=y^2+2\\y^2 - 2xy + 2 = 0\\\\Adunam \ si \ scadem \ x^2:\\y^2 - 2xy + x^2 - x^2 + 2 = 0\\(y-x)^2-x^2 + 2 = 0\\(y-x)^2=x^2 -2\\\\Similar \ gasim:\\(z-y)^2=y^2 - 2\\(x-z)^2=z^2-2[/tex]
Din aceste ultime 3 ecuatii, observam ca x²-2>0, y²-2>0, z²-2>0, sau x²>2, y²>2, z²>2.
Revenim la (ec 1), care se mai poate scrie ca:
[tex]\frac{(x^2-2)}{x}+\frac{(y^2-2)}{y}+\frac{(z^2-2)}{z}=0[/tex]
Tinind cont de ceea ce am gasit inainte (x²-2>0, y²-2>0, z²-2>0), observam ca avem o suma de 3 termeni care este 0. Cei 3 termeni au acelasi semn, deoarece x, y si z au acelasi semn.
Prin urmare trebuie ca fiecare termen sa fie 0.
Deci
[tex]x^2-2=0, \ \ \ x^2=2 \ \ \ x=+/-\sqrt{2} \\y^2-2=0, \ \ \ y^2=2 \ \ \ y=+/-\sqrt{2}\\z^2-2=0, \ \ \ z^2=2 \ \ \ z=+/-\sqrt{2}\\[/tex]
sau, deoarece x, y, si z au aceleasi semne, x=y=z=±[tex]\sqrt{2}[/tex]
