Explicație pas cu pas:
ABCD dreptunghi, AB ≡ DC, AD ≡ BC
ΔAEF triunghi echilateral, AE = 12 cm
=> AE ≡ AF ≡ EF = 12 cm
AB = AF + FB = 12 + 6 = 18 => AB = 18 cm
a) ducem înălțimea EM ⊥ AB
[tex]EM = \frac{AE \sqrt{3} }{2} = \frac{12 \sqrt{3} }{2} = > EM = 6 \sqrt{3} \: cm \\ [/tex]
în triunghiul echilateral înălțimea este mediană:
[tex]=> AM = \frac{AF}{2} = \frac{12}{2} = 6 = > AM = 6 \: cm \\ [/tex]
ADEM este dreptunghi => DE ≡ AM => DE = 6 cm
[tex]AD ≡ EM => AD = BC = 6 \sqrt{3} \: cm \\ [/tex]
EC = DC - DE = 18 - 6 = 12 => EC = 12 cm
Perimetrul EFBC = EF + FB + BC + EC = 12 + 6 + 6√3 + 12 = 30 + 6√3 = 6(5 + √3) cm
b) AP este bisectoare
=> ∢PAF = ½•∢EAF = ½•60° = 30° => ∢PAF = 30°
T.P. în ΔABC:
AC² = AB² + BC² = 18² + (6√3)² = 324 + 108 = 432
=> AC = 12√3 cm
[tex]BC = \frac{AC}{2} \\ [/tex]
BC este cateta opusă unghiului de 30°
=> ∢BAC = 30° => ∢BAC ≡ ∢PAF => P ∈ AC
=> punctele A, P, C sunt coliniare
q.e.d.
