20. În triunghiul ABC, cu C = 45°, lungimea laturii BC este egală cu 24√2 cm și tg(KABC) = 7. a) Aflaţi lungimile laturilor AB şi AC. b) Calculaţi aria triunghiului ABC. c) Calculați lungimea înălțimii BE, unde E = (AC). natică . Clasa a V c ) distanţa de la punctul C la dreapta AB . 20. În triunghiul ABC , cu C = 45 ° , lungimea laturii BC este egală cu 24√2 cm și tg ( KABC ) = 7 . a ) Aflaţi lungimile laturilor AB şi AC . b ) Calculaţi aria triunghiului ABC . c ) Calculați lungimea înălțimii BE , unde E = ( AC ) .

[tex]\it Fie \ \ AD\perp BC \Rightarrow \Delta ADC-dreptunghic\ isoscel.\\ \\ Not\breve a m\ AD=DC=x,\ \ BD=24\sqrt2-x\\ \\ Din\ \Delta DAB \Rightarrow tgB=\dfrac{AD}{BD}=7 \Rightarrow \dfrac{x}{24\sqrt2-x}=7 \Rightarrow x=7\cdot24\sqrt2-7x \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow x+7x=7\cdot24\sqrt2 \Rightarrow 8x=7\cdot24\sqrt2\Big|_{:8} \Rightarrow x=7\cdot3\sqrt2 \Rightarrow x=21\sqrt2\ cm \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow AD=DC=21\sqrt2\ cm[/tex]

Cu teorema lui Pitagora în ΔADC și în ΔDAB, determinăm:

AC=42cm, respectiv AB=10√5cm.

[tex]\it \mathcal{A}_{ABC}=\dfrac{BC\cdot AD}{2}=\dfrac{24\sqrt2\cdot21\sqrt2}{2}=24\cdot21=504\ cm^2[/tex]

[tex]\it \mathcal{A}_{ABC}=\dfrac{AC\cdot BE}{2} \Rightarrow 504=\dfrac{42\cdot BE}{2} \Rightarrow 504=21\cdot BE\Big|_{:21} \Rightarrow BE=24cm[/tex]