f(0)=0
[tex]\lim_{x \to -0} f(x)=\lim_{x \to -0}|x|e^{x-2}[/tex]
Cand x se apropie foarte mult de 0, si este negativ, modulul lui x se apropie foarte mult de 0, dar este pozitiv, iar [tex]e^{x-2}[/tex], atunci cand x se apropie de 0, se va apropia de [tex]e^{-2}=\frac{1}{e^2}[/tex]. Nu reprezinta nicio problema sa inmultim 0 cu [tex]\frac{1}{e^2}[/tex], deci putem calcula aceasta limita, care este 0.
La fel se intampla si pentru limita la dreapta, atunci cand x tinde la 0, dar fiind pozitiv. Vom ajunge tot la inmultirea lui 0 cu [tex]\frac{1}{e^2}[/tex], deci si aceasta limita va fi 0.
Limita la stanga fiind egala cu cea la dreapta, si amandoua egale cu f(0), inseamna ca f este continua in 0. Deci f este continua pe R.
Ceea ce inseamna ca f este derivabila pe R.
Derivata functiei modul este
[tex](|x|)'=\frac{x}{|x|}[/tex]
Atunci
[tex]f'(x)=(|x|)'e^{x-2}+|x|(e^{x-2})'=\frac{xe^{x-2}}{|x|}+|x|e^{x-2}[/tex]
