a) Restul impartirii lui 13 la 7 este 6, deci restul impartirii lui n la 7 va fi:
[tex]6^0+6^1+6^2+...+6^{2011}[/tex]
Restul impartirii lui [tex]6^0[/tex] la 7 este 1
Restul impartirii lui [tex]6^1[/tex] la 7 este 6
Restul impartirii lui [tex]6^2[/tex] la 7 este 1 (pentru ca 36=7x5+1)
Deci resturile se repeta din doi in doi.
De la puterea 0 pana la 2011, sunt 2012 termeni, numar par, deci putem grupa resturile doua cate doua (1+6)+(1+6)+...+(1+6).
Fiecare paranteza va da 7, iar restul impartirii lui 7 la 7 este 0.
Inseamna ca restul impartirii lui n la 7 va fi: 0+0+...+0=0.
Daca restul impartirii lui n la 7 este 0, inseamna ca n este divizibil cu 7.
b) Restul impartirii lui [tex]13^0[/tex] la 61 este 1.
Restul impartirii lui [tex]13^1[/tex] la 61 este 13.
Restul impartirii lui [tex]13^2[/tex] la 61 este 47 (pentru ca 169=61x2+47).
Restul impartirii lui [tex]13^3[/tex] la 61 este 47x13=611, dar restul 611 este tot una cu restul 1 fiindca 611=61x10+1.
Obtinand din nou restul 1, inseamna ca resturile se vor repeta din 3 in 3.
Stim ca avem 2012 termeni de adunat, dar 2012 impartit la 3 ne da restul 2. Inseamna ca vom putea grupa cate 3 termeni, dar ne vor ramane 2 la urma.
Adica restul impartirii lui n la 61 va fi:
(1+13+47)+(1+13+47)+...+(1+13+47)+1+13
Observam ca fiecare paranteza face 61, dar restul impartirii lui 61 la 61 este 0, deci ne vor ramane doar termenii 1+13=14.
Inseamna ca restul impartirii lui n la 61 este 14.
