a) 99
[tex]99^2=...1[/tex] (pentru ca 9x9=81, deci ultima cifra o sa fie 1)
[tex]99^3=...9[/tex], am ajuns din nou la ultima cifra 9
Deci ultimele cifre se repeta din 2 in 2.
51:2=25 rest 1
Restul fiind 1, inseamna ca este vorba despre cifra 9, fiindca ea apare prima in ciclu.
Deci [tex]99^{51}=...9[/tex]
b) 11
[tex]11^2=121[/tex]
Aceeasi ultima cifra 1, deci orice putere a lui 11 va avea ultima cifra 1.
15
[tex]15^2=...5[/tex]
Iarasi, orice putere a lui 15 va avea ultima cifra 5.
17
[tex]17^2=...9[/tex]
[tex]17^3=...3[/tex]
[tex]17^4=...1[/tex]
[tex]17^5=...7[/tex]
Ultimele cifre se repeta din 4 in 4.
53:4=13 rest 1.
Prima (fiindca avem restul 1) dintre cele 4 cifre care se repeta este 7, deci
[tex]17^{53}=...7[/tex]
Insumand toate cele trei ultime cifre obtinem
...1+...5+...7=...3
c) 313
[tex]313^2=...9[/tex]
[tex]313^3=...7[/tex]
[tex]313^4=...1[/tex]
[tex]313^5=...3[/tex]
Ultimele cifre se repeta din 4 in 4.
100:4=25
Restul impartirii este 0, ceea ce inseamna ca se ajunge la ultima cifra dintre cele 4 care se repeta, adica cifra 1, deci
[tex]313^{100}=...1[/tex]
La fel se procedeaza si pentru celelalte subpuncte si o sa obtii:
d) Ultima cifra 4
f) Ultima cifra 6
g) Ultima cifra 1
h) Ultima cifra 9
i) Ultima cifra 0
