Explicație pas cu pas:
[tex]n = 12345...9899100[/tex]
a) între 1 și 9 sunt nouă numere scrise cu câte o cifră
între 10 și 99 sunt 90 de numere scrise cu câte 2 cifre
numărul 100 are 3 cifre
=> numărul n are:
[tex]9 \times 1 + 90 \times 2 + 1 \times 3 = 9 + 180 + 3 = 192 \: cifre \\ [/tex]
b) suma cifrelor numărului n :
• între 1 și 9:
1 + 2 + .. + 9
• între 10 și 19:
suma cifrelor zecilor: 10×1 și suma cifrelor unităților: 0 + 1 + 2 + ... + 9
• între 20 și 29:
suma cifrelor zecilor: 10×2 și suma cifrelor unităților: 0 + 1 + 2 + ... + 9
........
• între 90 și 99:
suma cifrelor zecilor: 10×9 și suma cifrelor unităților: 0 + 1 + 2 + ... + 9
• numărul 100: 1 + 0 + 0 = 1
=> S = (1 + 2 + .. + 9) + [10×1 + (0 + 1 + 2 + .. + 9)] + [10×2 + (0 + 1 + 2 + .. + 9)] + ... + [10×9 + (0 + 1 + 2 + .. + 9)] + 1
= 10×(1 + 2 + .. + 9) + 10×(1 + 2 + .. + 9) + 1
= 20×9×10/2 + 1 = 900 + 1 = 901