Răspuns:
m = -1
Explicație pas cu pas:
f(x) = mx² + 2x + m, m # 0 . Este o functie de gradul 2. Reprezentarea functiei de gradul 2 este o parabola.
Ca aceasta functie (notarea standard f(x) = [tex]ax^{2} + bx + c[/tex] ) sa aiba ramurile in jos trebuie ca [tex]a < 0[/tex], in cazul nostru m < 0.
A doua conditie impune ca varful sa fie pe axa abciselor. Axa abciselor este axa x.
Stiind ca varful parabolei este : [tex]V (-b/2a , -Delta / 4a ) , Delta = b^2 - 4ac[/tex]
=> valoarea pe x poate sa fie oricare, dar trebuie sa impunem y = 0 pentru a indeplini conditia ca varful sa fie pe abcisa (adica pe x )
Stim:
[tex]a = m\\b = 2\\c = m\\Delta = b^2 -4ac = 2^2 -4*m*m = 4-4m^2\\Impunem:\\ -Delta / 4a = 0\\ < = > (-4 +4m^2 )/ 4a = 0 \\ < = > -4 + 4m^2 = 0\\ < = > 4m^2 = 4\\ < = > m^2 = 1 = > m = +1 sau -1 \\[/tex]
Inseamna ca m = 1 sau m=-1 varful se afla pe axa abciselor (x)
Dar pentru a fi cu ramurile in jos am aratat mai sus ca m trebuie sa fie < 0
Astfel m trebuie sa fie m= -1 pentru a respecta ambele conditii.
Functia devine f(x) = -x^2 + 2x - 1
