Explicație pas cu pas:
ABCD este trapez isoscel, cu AB || CD, AB > CD, AD ≡ BC, AB = 30 cm, CD = 20 cm
în trapez este înscris un cercul C(O, r)
=> toate laturile trapezului sunt tangente cercului
=> laturile neparalele sunt semisuma laturilor paralele
[tex]BC = \frac{AB + CD}{2} = \frac{20 + 30}{2} = 25 \: cm \\ [/tex]
demonstrație:
notăm cu M, N, P, Q punctele de tangență ale cercului cu laturile AB, BC, CD, AD
=> OM ≡ ON ≡ OP ≡ OQ = r
și avem: AQ ≡ AM ≡ BM ≡ BN = AB÷2
și CN ≡ CP ≡ DP ≡ DQ = CD÷2
=> BC = BN + CN = (AB/2) + (CD/2) = (AB+CD)/2
a) perimetrul ABCD = AB + BC + CD + AD
= 30 + 25 + 20 + 25 = 100 cm
b) ducem înălțimea CR ⊥ AB
RB = (AB - CD)÷2 = (30 - 20)÷2 = 5 cm
T.P. în ΔCRB dreptunghic:
CR² = BC² - RB² = 25² - 5² = 600
=> CR = 10√6 cm
[tex]Aria_{(ABCD)} = \frac{(AB + CD) \cdot CR}{2} \\ = \frac{(30 + 20)\cdot 10 \sqrt{6} }{2} = 250 \sqrt{6} \: {cm}^{2} [/tex]
c) raza cercului:
r = OP = CR÷2
[tex]=> r = \frac{10 \sqrt{6} }{2} = > r = 5 \sqrt{6} \: cm\\[/tex]
