a) f'(x)=4x-[tex]\frac{1}{x}[/tex]
afli cand derivata este 0:
f'(x)=0
[tex]4x-\frac{1}{x}=0[/tex], inmultesti cu un x
4x²-1=0
x²=1/4
x=±[tex]\sqrt\frac{1}{4}[/tex]=±[tex]\frac{1}{2}[/tex]
Intre radacini va avea semn opus lui a (coeficientul lui x²), adica minus, fiindca a=4. Deci pentru x de la -1/2 pana la 1/2, derivata lui f va avea semnul minus. Dar functia este definita doar pe (0, ∞), adica de la 0 pana la 1/2 derivata va fi negativa, iar de la 1/2 pana la ∞ va fi pozitiva.
In final, asta inseamna ca pe (0, [tex]\frac{1}{2}[/tex]) f este monoton descrescatoare,
iar pe ([tex]\frac{1}{2}[/tex], ∞) f este monoton crescatoare.
b) Fiindca f descreste pana la 1/2, iar apoi creste, putem deduce ca x=1/2 este punct de minim, ceea ce inseamna ca f(x)≥f(1/2), ∀x∈(0, ∞)
Nu ne mai ramane decat sa calculam f(1/2)=2×1/4-ln(1/2)=1/2-(ln1-ln2)=
1/2-ln1+ln2=1/2+ln2
Deci a=[tex]\frac{1}{2} +ln2[/tex]
c) Calculam f''(x)=[tex]4+\frac{1}{x^2}[/tex]
Se observa ca f''(x) este pozitiva pentru orice valoare a lui x, ceea ce inseamna ca functia f este convexa pe tot intervalul de definitie (0, ∞).
