Explicație pas cu pas:
1) ABCDEF hexagon regulat
AB ≡ BC ≡ CD ≡ DE ≡ EF ≡ AF
și ∢A ≡ ∢B ≡ ∢C ≡ ∢D ≡ ∢E ≡ ∢F = 120°
ΔABC ≡ ΔCDE ≡ ΔEFA (L.U.L.)
=> AC ≡ CE ≡ AE
=> ΔAEC este echilateral
2) ΔABF este isoscel, cu m(∢BAF) = 120°
=> m(∢ABF) = m(∢AFB) = 30°
3) centrul cercului circumscris, împreună cu vârfurile, împarte hexagonul în 6 triunghiuri congruente
centrul cercului circumscris hexagonului coincide cu centrul cercului circumscris triunghiului echilateral BFD și coincide cu centrul de greutate al triunghiului
4) teorema cosinusului în ΔABF:
BF² = AB² + AF² - 2•AB•AF•cos(BAF) = 2AB² - 2AB²cos(120°) = 2AB² - 2AB²•(-cos60°) = 2AB² - 2AB²•(-½) = 2AB² + AB² = 3AB²
=> BF = AB√3
[tex]Aria{(BDF)} = \frac{{BF}^{2} \sqrt{3} }{4} = \frac{3{AB}^{2} \sqrt{3} }{4} \\ [/tex]
[tex]Aria{(ABCDEF)} = \frac{3{AB}^{2} \sqrt{3} }{2} \\ [/tex]
→
[tex]Aria{(BDF)} = \frac{Aria{(ABCDEF)}}{2} \\ [/tex]
