Explicație pas cu pas:
a) Funcția este continuă pe domeniul de definiție (punctele de discontinuitate nu se află în D)
=> funcția nu are asimptotă verticală în intervalul (0, + ∞)
[tex]lim_{x \rightarrow - \infty }\left( \frac{x}{x + 1} - \frac{1}{x} \right) = \\ = lim_{x \rightarrow - \infty }\left( \frac{x}{x + 1}\right) - lim_{x \rightarrow - \infty }\left(\frac{1}{x} \right) \\ = 1 - 0 = 1\\[/tex]
[tex]lim_{x \rightarrow + \infty }\left( \frac{x}{x + 1} - \frac{1}{x} \right) = \\ = lim_{x \rightarrow + \infty }\left( \frac{x}{x + 1}\right) - lim_{x \rightarrow + \infty }\left(\frac{1}{x} \right) \\ = 1 - 0 = 1\\ [/tex]
→ dreapta y = 1 este asimptotă orizontală
b)
[tex]f^{\prime}(x) = \left( \frac{x}{x + 1} - \frac{1}{x} \right)^{\prime} \\ = \left( \frac{x}{x + 1} \right)^{\prime} - \left(\frac{1}{x} \right)^{\prime} = \frac{1}{ {(x + 1)}^{2} } - \left(- \frac{1}{ {x}^{2} }\right) \\ = \frac{2 {x}^{2} + 2x + 1}{ {x}^{2}{(x + 1)}^{2} } > 0[/tex]
=> f(x) crescătoare pe domeniul de definiție
c)
[tex]f'^{\prime}(x) = \left( \frac{2 {x}^{2} + 2x + 1}{ {x}^{2}{(x + 1)}^{2} } \right)^{\prime} \\ [/tex]
[tex]= \frac{\left(2 {x}^{2} + 2x + 1 \right)^{\prime}{x}^{2}{(x + 1)}^{2} - \left({x}^{2}{(x + 1)}^{2}\right)^{\prime}(2{x}^{2} + 2x + 1)}{{({x}^{2}{(x + 1)}^{2})}^{2}} \\ [/tex]
[tex]= \frac{(4x + 2){x}^{2}{(x + 1)}^{2} - (4 {x}^{3} + 6 {x}^{2} + 2x)(2{x}^{2} + 2x + 1)}{{({x}^{2}{(x + 1)}^{2})}^{2}} \\ [/tex]
[tex]= \frac{2(2x + 1){x}^{2}{(x + 1)}^{2} - 2x(2 {x}^{2} + 3x + 1)(2{x}^{2} + 2x + 1)}{{x}^{4}{(x + 1)}^{4}} \\[/tex]
[tex]= \frac{2(2x + 1){x}^{2}{(x + 1)}^{2} - 2x(2x + 1)(x + 1)(2{x}^{2} + 2x + 1)}{{x}^{4}{(x + 1)}^{4}} \\[/tex]
[tex]= \frac{2x(2x + 1)(x + 1)({x}^{2} + x - 2{x}^{2} - 2x - 1)}{{x}^{4}{(x + 1)}^{4}} \\[/tex]
[tex]= - \frac{2(2x + 1)( {x}^{2} + x + 1)}{ {x}^{3} {(x + 1)}^{3}}\\[/tex]
f"(x) < 0, pentru x ∈ (0; +∞)
=> f(x) este concavă
