Explicație pas cu pas:
2.
[tex]f = {X}^{20} - {X}^{14} + 2{X}^{4} - 2{X}^{2} \\ [/tex]
[tex]= {X}^{14}\left( {X}^{6} - 1 \right) + 2{X}^{2}\left({X}^{2} - 1 \right) \\ [/tex]
[tex]= {X}^{14}\left( {X}^{3} - 1 \right)\left( {X}^{3} + 1 \right) + 2{X}^{2}\left(X - 1 \right)\left(X + 1 \right) \\[/tex]
[tex]= {X}^{14}\left(X - 1 \right)\left( {X}^{2} + X + 1 \right)\left( {X}^{3} + 1 \right) + 2{X}^{2}\left(X - 1 \right)\left(X + 1 \right) \\[/tex]
[tex]= {X}^{2}\left(X - 1 \right)\left[ {X}^{12}\left( {X}^{2} + X + 1 \right)\left( {X}^{3} + 1 \right) + 2\left(X + 1 \right) \right] \\ [/tex]
3.
[tex]f = {X}^{3} - 3{X}^{2} + 11{X}^{4} - m \\ [/tex]
polinomul are rădăcinile:
[tex]x_{1}, x_{2}, x_{3}[/tex]
din Relațiile lui Viete:
[tex]s_{1} = x_{1} + x_{2} + x_{3} = - \frac{b}{a} = 3 \\ [/tex]
[tex]s_{2} = x_{1}x_{2} + x_{1}x_{3} + x_{2}x_{3} = \frac{c}{a} = 11 \\ [/tex]
[tex]x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} = {(x_{1} + x_{2} + x_{3})}^{2} - 2(x_{1}x_{2} + x_{1}x_{3} + x_{2}x_{3}) \\ = s_{1}^{2} - 2s_{2} = 9 - 22 = - 13 < 0[/tex]
deoarece avem o sumă de pătrate negativă => există rădăcini complexe
=> rădăcinile polinomului nu pot fi toate reale, oricare ar fi m ∈ R
