👤
a fost răspuns

Se consideră matricea [tex]$M(x)=\left(\begin{array}{cc}1 & x \\ 2 x & x+1\end{array}\right)$[/tex], unde [tex]$x$[/tex] este număr real.

5p 1. Arătați că [tex]$\operatorname{det}(M(2))=-5$[/tex].

5p 2. Demonstrați că [tex]$M(x)+M(x+2)=2 M(x+1)$[/tex], pentru orice număr real [tex]$x$[/tex].

5p 3. Determinaţi numerele reale [tex]]$x$[/tex] pentru care [tex]$\operatorname{det}(M(x))=0$[/tex].

5p 4. Arătați că [tex]$M(x) \cdot M(y)=M(y) \cdot M(x)$[/tex], pentru orice numere reale [tex]$x$[/tex] și [tex]$y$[/tex].

5p 5. Determinați numărul real [tex]$x$[/tex] pentru care [tex]$M(x) \cdot M(-x)=M(0)$[/tex].

5p 6. Determinați numărul natural nenul [tex]$n$[/tex], știind că suma numerelor întregi [tex]$x$[/tex] care verifică inegalitatea [tex]$\operatorname{det}(n M(x)-x M(n)) \leq n^{2}$[/tex] este egală cu 36 .

Răspuns :

[tex]M(x)=\left(\begin{array}{cc}1 & x \\ 2 x & x+1\end{array}\right)[/tex]

1)

Calculam det(M(2)), inlocuim pe x cu 2 si facem diferenta dintre produsul diagonalelor

det(M(2))=1×3-2×4=3-8=-5

2)

[tex]M(x)+M(x+2)=\left(\begin{array}{cc}1 & x \\ 2 x & x+1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}1 & x+2 \\ 2 x+4 & x+3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2 & 2x+2 \\ 4x+4 & 2x+4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2 & 2(x+1)) \\ 4(x+1) & 2(x+2)\end{array}\right)=2M(x+1)[/tex]

3)

det(M(x))=0

x+1-2x²=0

2x²-x-1=0

Δ=1+8=9

[tex]x_1=\frac{1+3}{4} =1\\\\x_2=\frac{1-3}{4} =-\frac{1}{2}[/tex]

4)

[tex]M(x)\cdot M(y)=\left(\begin{array}{cc}1 & x \\ 2 x & x+1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}1 & y \\ 2 y & y+1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1 +2xy&y+xy+x \\ 2x+2xy+2y & 3xy+x+y+1\end{array}\right)[/tex]

[tex]M(y)\cdot M(x)= \left(\begin{array}{cc}1 & y \\ 2 y & y+1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}1 & x \\ 2 x & x+1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1 +2xy&y+xy+x \\ 2x+2xy+2y & 3xy+x+y+1\end{array}\right)[/tex]

Observam ca sunt egale

5)

[tex]M(x)\cdot M(-x)=\left(\begin{array}{cc}1 & x \\ 2 x & x+1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}1 & -x \\ -2 x & -x+1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1 &0 \\ 0 & 1\end{array}\right)\\\\\left(\begin{array}{cc}1 -2x^2& -x^2 \\ -2x^2 & -2x^2+x^2-1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1 &0 \\ 0 & 1\end{array}\right)\\\\[/tex]

-x²=0

x=0

6)

[tex]nM(x)-xM(n)=\left(\begin{array}{cc}n &nx \\ 2nx & nx+n\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}x &nx \\ 2nx & nx+x\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}n-x &0 \\ 0 & n-x\end{array}\right)\\\\\left|\begin{array}{cc}n-x &0 \\ 0 & n-x\end{array}\right|=(n-x)^2\\\\[/tex]

[tex](n-x)^2\leq n^2\\\\n^2-2nx+x^2\leq n^2\\\\x^2-2nx\leq 0\\\\x\in [0,2n]\\\\[/tex]

Stim ca suma elementelor lui x este egala cu 36

0+1+2+...+2n=36

[tex]\frac{2n(2n+1)}{2} =36\\\\2n^2+n=36\\\\2n^2+n-36=0\\\\\Delta=1+288=289\\\\n_1=\frac{-1+17}{4} =4\\\\n_2=\frac{-1-17}{4} =-\frac{-18}{4} < 0\ NU[/tex]

Un alt exercitiu cu matrice gasesti aici: https://brainly.ro/tema/9928502

#BAC2022

#SPJ4