👤

Se consideră funcţia [tex]$f:(0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\frac{x^{2}-1}{x}$[/tex].

[tex]$5 p$[/tex] a) Arătați că [tex]$f^{\prime}(x)=1+\frac{1}{x^{2}}, x \in(0,+\infty)$[/tex].

[tex]$5 p$[/tex] b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre [tex]$+\infty$[/tex] la graficul funcției [tex]$f$[/tex].

[tex]$5 p$[/tex] c) Demonstrați că funcția [tex]$f$[/tex] este concavă.


Răspuns :

[tex]f(x)=\frac{x^{2}-1}{x}[/tex]

a)

Vezi tabelul de derivate din atasament

[tex]f'(x)=\frac{2x^2-x^2+1}{x^2} =\frac{x^2+1}{x^2} =1+\frac{1}{x^2}[/tex]

b)

Ecuatia asimptotei oblice

y=mx+n

[tex]m= \lim_{x\to+\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x\to+\infty}\frac{x^2-1}{x^2} =1[/tex]

Cand gradul numaratorului este egal cu gradul numitorului atunci limita este egala cu raportul coeficientilor gradelor mai mari

[tex]n= \lim_{x\to+ \infty} f(x)-mx= \lim_{x\to+ \infty}\frac{x^2-1}{x} -x= \lim_{x\to+ \infty}\frac{x^2-1-x^2}{x} = \lim_{x\to+ \infty}-\frac{1}{x}=-\frac{1}{\infty} =0[/tex]

Ecuatia asimptotei oblice spre +∞ este y=x

c)

Aflam derivata a doua

f''(x)=?

[tex]f''(x)=0+\frac{0-2x}{x^4} =-\frac{2}{x^3} < 0,\ pentru\ x\in(0,+\infty)[/tex]

f este concava

Un alt exercitiu cu functii gasesti aici: https://brainly.ro/tema/9928437

#BAC2022

#SPJ4

Vezi imaginea AndreeaP