Pe mulțimea numerelor complexe se definește legea de compoziție asociativă şi cu element neutru [tex]$z_{1} \circ z_{2}=i z_{1} z_{2}+z_{1}+z_{2}$[/tex]

5p a) Arătați că [tex]$i \circ i=i$[/tex]

[tex]$5 p$[/tex] b) Demonstrați că [tex]$z_{1} \circ z_{2}=i\left(z_{1}-i\right)\left(z_{2}-i\right)+i$[/tex], pentru orice numere complexe [tex]$z_{1}$[/tex] și [tex]$z_{2}$[/tex].

[tex]$5 p$[/tex] c) Demonstrați că simetricul numărului [tex]$\frac{1}{2}(1+i)$[/tex] în raport cu legea de compozitie ," " este număr real.

b) am folosit mici artificii de calcul si tot cu puterile lui i -> 1 se poate scrie ca i^2 , am adaugat si am si scazut un i ( acei +i-i de la final pe randul 2) pe care iarasi i am scris in functie de puterile lui i , am scos factor comun si am ajuns la ce se cerea .

* daca nu *vezi din ochi* aceste artificii, incearca sa scrii pe o ciorna la ce trebuie sa ajungi si sa desfaci parantezele, sa prelucrezi pana ajungi la forma *originala*, apoi incearca sa mergi invers pe fir si sa creezi tu acei pasi ca sa ajungi la ce se cerea .

* este de preferat sa prelucrezi pana ajungi la ce se cere, insa poti lucra in echilanta (<=>) si sa prelucrezi ambii membrii pana ajungi la o egalitate evidebta si adevarata

la c) din cerinta stim ca legea e asociativa => ne folosim de ea fara sa o demonstram

aflam elementul neutru conform teoriei ( e mereu aceasi *poezie* -> exista un e apartine lui R astefl incat x•e=e•x=x , pentru orice x aparitne lui R -> scrii x•e=x, inlocuiesti cu varianta pe care ai aflat-o la b si aflii e=...

apoi aflii elementul simetrizabil( ce ti se cere de fapt) ,; la fel ca la elementul neutru, e mereua ceasi *poezie* -> pentru oroce x apartine lui R, exista un x' apartine lui R pentru care x•x'=x'•x=e. in cazul nostru ti se da x=1/2(1+i) si asa il aflii pe x'=-1 care apartine lui R