[tex]f(x)=\frac{x^{3}}{x^{2}+1}[/tex]
a)
Vezi tabelul de derivate din atasament
[tex]f'(x)=\frac{3x^2(x^2+1)-2x^4}{(x^2+1)^2} =\frac{3x^4+3x^2-2x^4}{(x^2+1)^2} =\frac{x^2(x^2+3)}{(x^2+1)^2}[/tex]
b)
Doua drepte sunt paralele daca pantele sunt egale
Asimptota spre +∞
[tex]\lim_{x \to +\infty} f(x)=+\infty[/tex]
Daca gradul numitorului este mai mic decat gradul numaratorului atunci limita este egala cu ∞
Nu avem asimptota verticala
Avem asimptota oblica
y=mx+n
panta=m
[tex]m= \lim_{x+ \to \infty} \frac{f(x)}{x} =1\ (gradele\ sunt\ egale)[/tex]
Tangenta la grafic in punctul A(a,f(a)) are panta f'(a)
Deci f'(a)=1
[tex]\frac{a^2(a^2+3)}{(a^2+1)^2}=1\\\\a^2(a^2+3)=(a^2+1)^2\\\\a^4+3a^2=a^4+2a^2+1\\\\a^2=1\\\\a=1\\\\a=-1[/tex]
c)
Studiem derivata de ordin 2
[tex]f''(x)=\frac{(4x^3+6x)(x^2+1)^2-(x^4+3x^2)4x(x^2+1)}{(x^2+1)^4} =\frac{(x^2+1)(4x^5+4x^3+6x^3+6x-4x^5-12x^3)}{(x^2+1)^4} \\\\f''(x)=\frac{-2x^3+6x}{(x^2+1)^3}[/tex]
Pentru x∈[0,√3] f''(x)≥0 ⇒ f este convexa
Un alt exercitiu cu functii gasesti aici: https://brainly.ro/tema/9928374
#BAC2022
#SPJ4
