Explicație pas cu pas:
ΔABC triunghi echilateral, AB = 16 cm,
AD ⊥ BC, D ∈ BC
→ în triunghiul echilateral înălțimea este mediană
=> BD ≡ DC = 8 cm
→ M este mijlocul lui DC => DM ≡ MC = 4 cm
→ AD este înălțime în triunghiul echilateral:
[tex]AD = \frac{AB \sqrt{3} }{2} = \frac{16 \sqrt{3} }{2} = > AD = 8 \sqrt{3} \: cm \\ [/tex]
→ N este mijlocul lui AD => AN ≡ ND = 4√3 cm
→ E proiecția punctului D pe dreapta AC: DE ⊥ AC
a) perimetrul triunghiului echilateral:
[tex]P = 3 \times l = 3 \times AB = 3 \times 16 = 48 \: cm \\ [/tex]
b)
→ în triunghiul ΔAED dreptunghic, EN este mediană:
AN ≡ ND ≡ EN
→ în triunghiul ΔDEC dreptunghic, EM este mediană:
DM ≡ MC ≡ EM
NM latură comună
=> ΔNDM ≡ ΔNEM (L.L.L.)
=> ∢NDM ≡ ∢NEM = 90° => ME ⊥ NE
c) EN ∩ AB = {F}
→ în triunghiul echilateral înălțimea este bisectoare:
∢DAC = ∢ BAC÷2 = 60°÷2 => ∢DAC = 30°
→ ΔANE este isoscel (AN ≡ NE) => ∢AEN ≡ ∢EAN = 30°
∢AFE = 180° - (∢AEF + ∢EAF) = 180° - (30° + 60°) = 180° - 90° => ∢AFE = 90°
→ ΔAFN ~ ΔADB (U.U.)
[tex]\frac{AF}{AD} = \frac{FN}{DB} = \frac{AN}{AB}\\\frac{AF}{8 \sqrt{3} } = \frac{FN}{8} = \frac{4 \sqrt{3} }{16} = \frac{ \sqrt{3} }{4} \\ FN = \frac{8 \sqrt{3} }{4} = > FN = 2 \sqrt{3} \: cm \\ AF = \frac{8 \sqrt{3} \times \sqrt{3}}{4} = > AF = 6 \: cm[/tex]
→
[tex]Aria_{BDNF} = Aria_{ADB} - Aria_{AFN} \\ = \frac{AD \times BD}{2} - \frac{AF \times FN}{2} \\ = \frac{8 \sqrt{3} \times 8}{2} - \frac{6 \times 2 \sqrt{3} }{2} = 32 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} = 26 \sqrt{3} \: {cm}^{2} [/tex]
